LA FUNCIÓN EXPONENCIAL EN FISIOLOGÍA.

    Si definimos un número e de la siguiente forma:

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ..

    Si escribimos y=e^x   y diferenciamos esta expresión tendremos

dy/dx = 0 + 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + .. = e^x

por lo tanto si y=e^x    entonces dy/dx =e^x =y o lo que es lo mismo la función exponencial es una función cuya tasa de incremento (o decremento) es igual a la función misma.

    Análogamente  si y=e^ax    entonces dy/dx = ay, por lo tanto la función e^ax   es una función cuyo tasa de incremento (o decremento)  es proporcional a la función misma.

    En Biología (y en muchas otras ciencias) lo interesante de esta función es que con frecuencia nos encontramos con procesos y fenómenos en los cuales la variable que nos interesa cambia con el tiempo y la tasa de cambio o velocidad es proporcional al valor de esa variable  en cada momento es decir se comporta como una función exponencial.

    Consideremos que tenemos una sustancia en un compartimiento del cual está desapareciendo de manera que cada instante de tiempo disminuye la concentración C en forma  proporcional a la concentración  existente en ese momento esto equivale a escribir:

C(_t+Δt) =C(_t)-C(_t)Δtλ

C(_t+Δt)-C(_t)=-C(_t)Δtλ

ΔC(_t)=-C(_t)Δtλ

y por lo tanto

ΔC(_t)/Δt=-λC(_t)

que se puede expresar diciendo que en la unidad de tiempo disminuye en una fracción constante la concentración de la sustancia en ese momento y por lo tanto:

dC(_t)/dt =-λC(_t)

que implica que la velocidad de disminución de la concentración es proporcional a la concentración  existente.

pasando C(_t) al primer miembro y dt al segundo tendremos:

dC(_t)/C(_t)=-λdt

integrando a lo largo del tiempo la expresión anterior se obtiene:

∫dC(_t)/C(_t)=lnC(_t)-lnC(₀) para la parte izquierda y

∫-λdt=-λt para la parte derecha, por tanto

lnC(_t)-lnC(₀)= -λt

ln C(_t)/C(₀)= -λt

tomando antilogaritmos

C(_t)/C(₀)=e^-λt

y finalmente obtenemos la expresión

C(_t)=C(₀) e^-λt

En ésta expresión:

C(t) representa el valor en cada instante de tiempo t de la concentración de sustancia presente en el compartimiento

C(o) corresponde al valor en el instante inicial lo que nos permite calcular el volumen aparente de distribución del indicador.

λ es la constante de proporcionalidad que nos indica en que proporción declina C con el tiempo, tiene la dimensión de tiempo^-1.  Por ejemplo si el tiempo se expresa en minutos un valor de λ =0,5 indica que cada minuto C declina en un factor de 0,5C es decir en el 50% del valor en ese momento. Recuérdese que la velocidad de cambio es, por definición, variable y proporcional al valor de C en ese momento.

Si volvemos a la expresión en forma logarítmica y despejamos para t

t=ln C(_t)/C(₀) /-λ

cuando C(_t)/C(₀)=0,5

t=ln(0,5)/-λ = -0,693/-λ

t es el tiempo para el cual el valor de C es la mitad del valor inicial y se denomina semivida quedando

t_1/2=0,693/λ

cuando C_(t)/C(₀)=1/e =1/2,718=0,368

t=ln(1/e)/-λ=-1/-λ

τ es el tiempo para el cual el valor de C declina en un factor de 1/e y se denomina constante de tiempo

τ=1/λ

la relación entre la semivida y la constante de tiempo se obtiene despejando λ en una  y sustituyendo en la otra y queda

 t_1/2=0,693τ

    Esto nos lleva a otra manera de escribir la evolución de la concentración que es:

    C(_t)=C(₀) e^-t/τ

    Es importante recordar que el desarrollo que hemos realizado utilizando la concentración se puede utilizar con otras variables y se llega al mismo resultado. De hecho la función exponencial aparece como se ha indicado en multitud de procesos biológicos como la tasa de crecimiento celular, la tasa de formación de individuos en una colonia de microorganismos, la dilución de una sustancia en un tanque en el que se renueva el contenido que se pierde, o la velocidad de algunas reacciones químicas, la saturación y desaturación de gas en un tejido, etc.   

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actualizado por miguel de córdoba 05/08/2010