ANÁLISIS ESPECTRAL.

SERIES DE FOURIER.

PERIODOGRAMA.


El análisis espectral se basa en la transformación de FOURIER que nos conduce desde el dominio del tiempo al dominio de las frecuencias. Se trata de analizar la señal desde un punto de vista distinto, pero relacionado con los métodos ya estudiados, con el que se pretende investigar el proceso que genera la señal en base a sus componentes en frecuencia.

Como se recordará una función f(x) se denomina periódica si existe un número entero mínimo (p) tal que f(x±p)=f(x), y a p se le denomina periodo de la función f(x). Esto es equivalente a decir que la función se repite idéntica cada p intervalos.

Como ejemplo de funciones periódicas simples tenemos las funciones:

y=seno(x)

y=coseno(x)

ambas de periodo 2π.

De forma general la función:



y = R cos (nx-ф)



es una función periódica de periodo 2π/n, de fase ф, de amplitud R y de frecuencia n/2π








Esta función se puede escribir también en la forma:



y = acos(nx) + bsen(nx)



Para comprobarlo aplicamos la fórmula para el coseno de la suma de dos ángulos y tendremos



y = R cos (nx-ф) = y = R [cos (nx) cos (ф) + sen (nx) sen (ф)]



recordando la forma que toman el coseno, seno y tangente, del ángulo ф , opuesto al cateto b, en un triángulo· rectángulo de hipotenusa R y catetos a y b. Tendremos:






cos (ф)= a/R

sen (ф)= b/R

tan (ф)= b/a



y sustituyendo en la suma obtendremos la segunda forma de expresión planteada.



Cuando disponemos de esta segunda forma y queremos pasar a la primera, emplearemos:





ф = arc. tan (b/a)



Todavía existe otra manera de escribir la función y es con notación de número complejo de acuerdo con la formulación de Euler.









por lo tanto

y = acos(nx) + bsen(nx) = =



si utilizamos C=(a+b/i)/2 y tenemos en cuenta que 1/i=-i entonces podemos emplear:



C=(a-bi)/2 y C*= (a+bi)/2 siendo C y C* complejos conjugados.



Por lo tanto disponemos de las expresiones:



y = R cos (nx-ф) = acos(nx) + bsen(nx) = Cinx+C*-inx



C se puede escribir de formas distintas según que parámetros utilicemos:



C*=(a+bi)/2

C=(a-bi)/2

C*=R/2 (cosΨ+isenΨ)

C=R/2 (cosΨ-isenΨ)

C*=R/2 e

C=R/2 e-iΨ



donde



Ψ= arc.tan (-b/a)



Como ejemplo la función y=12cos(4x-2) se podrá escribir en la siguientes formas todas ellas equivalentes:



y=12cos(4x-2)

y=-4.994cos(4x)+10.912sen(4x)

Y=6e-1.142i e4x +6e1.142i e-i4x



dónde todos los valores de ángulos están en radianes. El periodo de la función es 1.57 (2*3.14/4) y su frecuencia 0.637 hz. y

R=12

a=Rcos(ф)=12*cos(2)=-4,993

b=Rsen(ф)=12*sen(2)=10,912

Ψ=arc.tan(-10,912/-4,993)=1,142



SERIES DE FOURIER.



Si escribimos un polinomio trigonométrico empleando la forma general de la función coseno de la forma:



y=R0+R1cos(nx-ф1)+R2cos(2nx-ф2)+....Rkcos(knx-фk)+....



en la que cada término de la suma tiene una determinada amplitud Rk y fase фk y cuya frecuencia es un múltiplo entero k de la frecuencia del primer armónico (nx). Una suma de este tipo es lo que se conoce como SERIE DE FOURIER.

En forma intuitiva es fácil admitir que, de la misma forma que los valores de una función obtenida experimentalmente pueden ser ajustados a un polinomio en x, cuando la función es periódica , también es posible hacerlo a un polinomio trigonométrico como la serie de Fourier, con la ventaja de que, en el caso de las funciones seno y coseno, se trata de funciones periódicas, ortogonales y cuyas derivadas son las funciones coseno y seno, respectivamente. De hecho es posible demostrar, que la aproximación de una función periódica por la serie de Fourier es única y cumple la condición de hacer mínima la suma de cuadrados de las diferencias entre los valores experimentales y los aproximados. Es decir es un ajuste mínimo cuadrático. Además, la adición de términos de frecuencia creciente a la serie mejora el ajuste y no requiere que sean re-calculados los parámetros de los términos ya obtenidos.

Si disponemos de una señal que cumple las condiciones (no todas ellas de carácter restrictivo absoluto) siguientes:

1.- La señal es continua.

2.- La señal es periódica de periodo T segundos ( por lo tanto de frecuencia F0=1/T hz o ω0=2*π/T rad/seg.

3.- La señal no contiene frecuencias superiores a Fm hz o 2*πFm rad/seg.

4.- La señal ha sido muestreada, de acuerdo con el teorema de Shanon, de manera que se dispone de un numero par de muestras 2*N, tomadas a intervalos equidistantes con una frecuencia de muestreo 2*Fm y por lo tanto a intervalos Tm = 1/2*Fm seg.

La serie de Fourier que representa a la señal contendrá un número finito de términos, precisamente N, correspondientes a funciones seno y coseno de frecuencias ωO , 2ωO ,3ωO ,NωO . El último término, si se tiene en cuenta que el periodo T, es 2*N*Tm, corresponde a la frecuencia ωm

A un nivel más formal, si existe una función periódica f(x), de período 2π, que cumple unas determinadas condiciones (condiciones de DIRICHLET) de continuidad y aceptamos que la serie de Fourier es uniformemente convergente (lo que se puede demostrar) es posible obtener los parámetros de la serie que representa a la función con las siguientes consideraciones:



f(t)=½A0+A1cos(ω0t)+B1sen(ω0t)+A2cos(2ω0t)+B2sen(2ω0t)+..+Ancos(nω0t)+Bnsen(nω0t)+..



si se integran los dos miembros de la ecuación entre -T/2 y T/2 y se tiene en cuenta que la integral definida en un periodo de kcos(nω0t)dt y de ksen(ω0t)dt es cero se tendrá:





y despejando queda:





y por lo tanto Ao es el doble del promedio de la señal durante el periodo y 1/2A0 es el valor medio de la función durante un periodo y corresponde al primero de los coeficientes en A de la serie de Fourier.

Si antes de integrar, se multiplican los dos miembros de la ecuación cos(kω0t) tendremos en el segundo miembro productos de la forma 1/2A0cos(kω0t), cos(mω0t)cos(kω0t) y sen(mω0t)cos(kω0t) (m distinto de k) cuya integral es cero y un término de la forma cos(kω0t)cos(kω0t) cuya integral es T/2 por lo que quedará:





despejando como antes, obtenemos ahora:





De manera similar pero multiplicando antes de integrar por sen(kω0t) llegaremos a :





Que corresponden a la forma genérica de los coeficientes de la serie de Fourier que representa a la función.

Si se escribe la serie en forma compleja tendremos para el termino genérico la forma:







en donde el módulo del complejo Ck viene dado por:



y el argumento por Ψk= tan-1 -Bk/Ak



La representación gráfica de la magnitud de Ck versus la frecuencia (ω) se denomina espectro discreto de amplitud de la función periódica f(t) y la representación gráfica de Ψk frente a la frecuencia se denomina espectro de fase de la función. El espectro de amplitud y fase de una función periódica especifica a esta en el dominio de la frecuencia, así como la representación de los valores de amplitud de la función frente al tiempo (t) la especifica en el dominio del tiempo.

Se ha insistido en que las señales bioeléctricas, aunque continuas, al ser tratadas mediante procedimiento digitales de cálculo aparecen como señales muestreadas, que pueden ser o no periódicas. El hecho de que se trate de señales no periódicas puede ser solventado si se considera como periodo de la señal el tiempo total de observación, lo que no es contradictorio, puesto que al desconocer la evolución de la señal fuera de ese periodo no existen datos que se opongan a dicha consideración, simplemente, se asume que la señal se repite de forma idéntica a lo largo del tiempo.

El hecho de que sea una señal muestreada a intervalos equidistantes en número de 2N muestras, permite aplicar, para el cálculo de los coeficientes de Fourier las fórmulas:









Dicho de otra forma cada término de orden k (k -ésimo armónico) de la serie es el doble del valor medio de la señal que resulta de multiplicar cada muestra (n -ésima) de la señal original por un término trigonométrico cuya frecuencia es el múltiplo n*k -ésimo de la frecuencia fundamental. El número de armónicos de una señal con 2N muestras será, por lo tanto de N.

Sin embargo cuando tratamos con problemas reales, no siempre es posible considerar que las condiciones establecidas se cumplen. De hecho rara vez se dispone de señales verdaderamente periódicas y con una banda limitada y, por otra parte las señales son continuas y no el conjunto de muestras de que disponemos. Además los datos, cuando mucho, pueden ser considerados como subconjuntos de una población a la que concedemos propiedades de estacionariedad .

Esto plantea la pregunta de hasta que punto los cálculos que realizamos nos proporcionan información verdadera y hasta que punto pueden ser utilizados o lo que es lo mismo, que hemos de hacer para obtener estimaciones de parámetros poblacionales. Si consideramos que disponemos de una señal continua, que corresponde a una muestra de un proceso de duración infinita, pero del que solamente conocemos los datos correspondientes a la muestra, podemos asumir que estamos, como se indicó más arriba, ante un proceso periódico cuyo periodo es el tiempo de observación de que disponemos. Evidentemente esto no es cierto, pero la asunción de la periodicidad y la limitación de la banda de frecuencias de la señal nos permite representar a esta por una serie de Fourier con un número finito de términos, que solamente existen en múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Sin embargo nuestra señal original, continua, poseerá un espectro continuo y lo que habrá ocurrido es que en cada uno de los armónicos que obtenemos, se habrán acumulado los componentes de frecuencia existentes entre este y el armónico anterior, en forma similar a como se acumulan en una marca de clase de un histograma, los datos correspondientes a los valores entre los límites de clase.

Hemos visto como, a partir de los datos disponibles para una señal, es posible realizar el análisis de esta en tres dominios, el dominio de la amplitud, el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. El objetivo de cada uno de estos procedimientos es obtener las funciones de densidad de probabilidad, de autocovarianza y de densidad espectral. La realidad es que, la utilización de las técnicas de cálculo digital mediante ordenadores, introduce sustituciones en la toma de datos que generan errores estadísticos que se deben tener en cuenta y que conducen a la obtención, en condiciones ideales, de estimadores consistentes de las funciones correspondientes a la población, a partir de los datos de la muestra. En ocasiones, para obtener estimadores consistentes es necesario recurrir a procedimientos de alisamiento o filtrado.

Ejemplo de aplicación.



Si volvemos de nuevo a la señal digitalizada que utilizamos como ejemplo y nos planteamos la obtención de los coeficientes del cuarto armónico de la serie de Fourier a la que se habrá de ajustar, hay que aplicar:





Para hacerlo disponemos los datos de la forma:



muestra n

Valor digitalizado

cos(n2∏4/32)

producto

1

3

0,7071

2,1213

2

0

0,0000

0,0000

3

1

-0,7071

-0,7071

4

-1

-1,0000

1,0000

5

0

-0,7071

0,0000

6

2

0,0000

0,0000

7

3

0,7071

2,1213

8

7

1,0000

7,0000

9

5

0,7071

3,5355

10

3

0,0000

0,0000

11

-1

-0,7071

0,7071

12

1

-1,0000

-1,0000

13

-1

-0,7071

0,7071

14

4

0,0000

0,0000

15

5

0,7071

3,5355

16

6

1,0000

6,0000

17

7

0,7071

4,9497

18

3

0,0000

0,0000

19

2

-0,7071

-1,4142

20

0

-1,0000

0,0000

21

0

-0,7071

0,0000

22

3

0,0000

0,0000

23

7

0,7071

4,9497

24

7

1,0000

7,0000

25

6

0,7071

4,2426

26

4

0,0000

0,0000

27

2

-0,7071

-1,4142

28

3

-1,0000

-3,0000

29

4

-0,7071

-2,8284

30

7

0,0000

0,0000

31

7

0,7071

4,9497

32

8

1,0000

8,0000

suma



50,4558



Por lo tanto el valor de A4 será = 50,4558/16 = 3,1535 Modificando el valor de k en la fórmula se obtiene el resto de los coeficientes en A. Se procede igual para los coeficientes en B pero esta vez se emplea el seno en lugar del coseno.



Nota para la lectura en el siglo XXI

Normalmente nunca tendremos que proceder de esta tediosa manera, que sólo tiene el valor de un ejemplo para facilitar la comprensión del tema. La mayor parte de los sistemas de adquisición de señales (incluso los más simples como los osciloscopios) incluyen programado el cálculo de la transformada de Fourier mediante el algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT) y en caso de no ser así, es relativamente fácil programar una aplicación para que lo haga. Existe una aplicación informática (www.audacity.sourceforge.net) con la que es posible (y fácil) generar diversos tipos de señales y practicar con el análisis de Fourier.


Como ejemplo en la figura siguiente se muestra el análisis de nuestra señal para los primeros doce armónicos de la serie. Nótese como en la señal parece, a simple vista, que se repite como cuatro veces en el intervalo que dura el muestreo. Esta periodicidad es detectada por el análisis y así se puede comprobar con el coeficiente cuyo módulo es mayor (excluido el de orden cero) que es el armónico de 4º orden.











En esta otra figura se repite el análisis para una señal generada aleatoriamente con valores (enteros, para simular el muestreo) entre 0 y 12. Hay que recalcar la semejanza en valor de todos los armónicos que nos indican un espectro similar al del ruido blanco (distribución uniforme, misma probabilidad para cualquier valor)

PERIODOGRAMA.



El estimador de la función de densidad espectral es el periodograma que nos traslada desde el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

La forma de representación del periodograma .varía según los autores, generalmente en la escala de valores representados. En cualquier caso se parte sistemáticamente de los coeficientes de la serie de Fourier obtenida a partir de los datos, es decir de los coeficientes An y Bn. Es posible obtener las siguientes representaciones.



An y Bn contra las frecuencias n*ω0 (n=-N .. ·.-2,-l,O,l,2, ... N). Lo que estrictamente no es el peridodograma.

Rn = (An2+Bn2)1/2 contra las frecuencias n*ω0 , Lo que corresponde a un espectro de lineas y para algunos autores al periodograma.

Rn0 contra la frecuencia, lo que supone considerar los valores de Rn como el área de un rectángulo de base ω0 cuya altura es Rn0 y que implica la consideración de que, para cada frecuencia discreta, la amplitud del armónico correspondiente contiene información sobre la gama de frecuencia entre ωn ± ω0 /2. Es la forma de representación que se acerca más al concepto de densidad espectral.

En todo caso la representación gráfica es la misma, salvo un factor de escala, por lo que quizás sea mas correcto representar los valores normalizados , en relación al contenido total de potencia de la señal, definido de acuerdo con el teorema de Parseval y que corresponde a la mitad de la suma de los coeficientes Rn al cuadrado.

A partir de la serie de Fourier es posible obtener un estimador de la función de autocorrelación , si se recuerda que forman un par de transformadas de Fourier.

ESQUEMA GENERAL DE PROCEDIMIENTO PARA ANÁLISlS DE UNA SEÑAL BIOELÉCTRlCA.


Como resumen del tratamiento a aplicar a los datos correspondientes a una señal es conveniente plantearse un esquema general, que aunque no deba ser empleado en forma sistemática, permita ordenar los procesos fundamentales a realizar con los datos. Un esquema apropiado para la mayor parte de los casos sería:


1.- Estimación en base al tipo de proceso, aspecto del registro y contexto experimental de la banda de frecuencias que contiene. Filtrado analógico, si es posible, con frecuencia de corte por encima de la banda de interés. Estimación de la frecuencia de muestreo óptima.


2.- Fijación de un nivel de error en la determinación de los parámetros a calcular y del número máximo de des fases en autocorrelación Determinación del número de muestras y duración del registro a analizar.


3.- Digitalización de la señal y almacenamiento de los datos.


4.- Filtrado digital de frecuencias superiores a aquellas que nos interesan.


4.- Cálculo de la media, varianza y otros estadísticos simples de interés. Normalización de los datos a media cero (y opcionalmente, desviación unidad).


5.- Obtención del histograma de frecuencia relativa y acumulada. Estimación de las funciones de probabilidad y distribución. Dócimas de bondad del ajuste



6.- Utilización del algoritmo de la FFT para obtener el periodograma. Normalización de este sobre la potencia total de la señal. Alisamiento mediante media móvil.


7.- Utilización del algoritmo de la FFT inversa para obtener la autocorrelación Normalización sobre el coeficiente de orden cero.


8.- Interpretación de los estimadores de la densidad de probabilidad, distribución, densidad espectral y autocorrelación , en el contexto experimental en el que se han obtenido los datos.

 

 

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última revisión lunes, 29 agosto 2011 por miguel de córdoba